Ejercicio · ZW-RESIDUO-009 · ★★★ Avanzado
Calcula \(\displaystyle\oint_{|z|=1}\frac{e^z}{z^3}\,dz\) con la circunferencia recorrida una vez en sentido positivo.
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- A. \(\pi i\)
Explicación
La integral es \(2\pi i\) por el residuo de \(\frac{e^z}{z^3}\) en \(0\), que es el coeficiente de \(z^2\) en \(e^z\): \(\frac12\). Resulta \(2\pi i\cdot\frac12=\pi i\).
Repasa el concepto: Residuo
El residuo de una función \(f\) en una singularidad aislada \(z_0\) es el coeficiente \(a_{-1}\) de \((z-z_0)^{-1}\) en su serie de Laurent en un disco perforado de radio \(r\).
\[\operatorname{Res}(f,z_0)=a_{-1}=\frac{1}{2\pi i}\oint_{|z-z_0|=r/2}f(z)\,dz\]
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