Ejercicio · ZW-TEOREMA-RANGO-NULIDAD-007 · ★★☆ Intermedio

¿Puede existir una transformación lineal inyectiva \(T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2\)?

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  • D. No: la imagen tiene dimensión a lo sumo \(2\), así que el núcleo tiene dimensión al menos \(1\)

Explicación

Como \(\dim\operatorname{Im}T\le2\), la nulidad \(3-\dim\operatorname{Im}T\) es al menos \(1\), y un núcleo no trivial impide la inyectividad. Que el núcleo contenga al cero no basta para descartarla: inyectiva significa que contiene solo al cero.

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Repasa el concepto: Teorema del rango y la nulidad

Para una transformación lineal \(T\) con dominio \(V\) de dimensión finita, la dimensión del núcleo más la de la imagen es igual a la dimensión de \(V\).

\[\dim V=\dim\ker T+\dim\operatorname{Im}T\]

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