Derivadas · Definición

Regla del producto

cálculoderivadas

Antes de empezar necesitas conocer

La regla del producto permite derivar \(fg\) a partir de \(f\), \(g\) y sus derivadas, sin multiplicar las derivadas entre sí.

Definición

Regla que da la derivada de un producto de dos funciones derivables: \((fg)^{\prime}=f^{\prime}g+fg^{\prime}\). No es el producto de las derivadas.

\[(f\,g)'=f'\,g+f\,g'\]

La derivada de un producto no es el producto de las derivadas. La regla correcta es \((fg)'=f'g+fg'\): cada factor aporta su cambio mientras el otro se queda quieto.

Intuición con un rectángulo de lados \(f\) y \(g\): si ambos cambian un poco, el área cambia por dos franjas largas (\(f'g\) y \(fg'\)) más una esquina diminuta que desaparece al tomar el límite.

Un error común es derivar cada factor y multiplicar; comprueba con \(x\cdot x\): da \(2x\), no \(1\).

Para pensar

Deriva \(x^2\sin x\).

\(2x\sin x+x^2\cos x\).

Ejercicios 10

Deriva las siguientes funciones

  1. \(\displaystyle f(x)=x^{2} \sin {x}\)
  2. \(\displaystyle f(x)=\left(3 x + 1\right) e^{x}\)
  3. \(\displaystyle f(x)=x \ln{\left(x \right)}\)
  4. \(\displaystyle f(x)=\left(x^{2} + 1\right) \cos {x}\)
  5. \(\displaystyle f(x)=e^{x} \sin {x}\)
  6. \(\displaystyle f(x)=x^{3} e^{x}\)
  7. \(\displaystyle f(x)=\left(x + 2\right) \cos {x}\)
  8. \(\displaystyle f(x)=\left(2 x - 1\right) e^{x}\)

Problemas

  1. ¿Cuál es el error en esta afirmación? «\((x^{2}\sin x)'=2x\cos x\)»
  2. Deriva \(f(x)=x \sin {x}\, e^{x}\) aplicando la regla del producto dos veces.

Referencias

  • James Stewart, Calculus: Early Transcendentals, 8.ª edición, Cengage Learning, 2015.