Una función tiene un polo en \(z_0\) y su serie de Laurent en \(0<|z-z_0|<r\) es \(\frac{3}{(z-z_0)^2}+\frac{5}{z-z_0}+7+\cdots\). ¿Qué vale \(\oint_{|z-z_0|=r/2}f\,dz\)?
Solo el término \(\frac{5}{z-z_0}\) sobrevive a la integración: la integral es \(2\pi i\cdot a_{-1}=10\pi i\). El término \(\frac{3}{(z-z_0)^2}\) integra a \(0\).
El residuo de una función \(f\) en una singularidad aislada \(z_0\) es el coeficiente \(a_{-1}\) de \((z-z_0)^{-1}\) en su serie de Laurent en un disco perforado de radio \(r\).