Para a_n=(2+cos n)/(3^n) se cumple 0≤ a_n≤ b_n con b_n=(3)/(3^n). ¿Cuánto vale ∑_n=1^∞b_n, cota superior de ∑ a_n?

Ejercicio · ZW-CRITERIO-DE-COMPARACION-007 · ★★☆ Intermedio

Para \(a_n=\dfrac{2+\cos n}{3^n}\) se cumple \(0\le a_n\le b_n\) con \(b_n=\dfrac{3}{3^n}\). ¿Cuánto vale \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}b_n\), cota superior de \(\sum a_n\)?

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Como \(2+\cos n\le3\), sirve \(b_n=3\cdot3^{-n}\): su suma es \(3\cdot\frac{1/3}{1-1/3}=\tfrac32\).

Criterio que decide si una serie \(\sum a_n\) de términos no negativos converge comparándola con otra serie \(\sum b_n\) tal que \(a_n\le b_n\).

\[0\le a_n\le b_n\ \Longrightarrow\ \Big(\sum b_n\text{ converge}\Rightarrow\sum a_n\text{ converge}\Big)\]