Ejercicio · ZW-CRITERIO-DE-COMPARACION-008 · ★★☆ Intermedio
¿Qué comparación prueba correctamente que \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{3^n-1}\) converge?
Elige una opción.
A \(\dfrac1{3^n-1}\le\dfrac1{3^n}\) para \(n\ge1\); la geométrica converge B \(\dfrac1{3^n-1}\ge\dfrac1{3^n}\) para \(n\ge1\), luego la serie converge C \(\dfrac1{3^n-1}\le\dfrac32\cdot\dfrac1{3^n}\) para \(n\ge1\); la geométrica converge D \(\dfrac1{3^n-1}\le\dfrac1n\) para \(n\ge1\); la armónica converge Ver respuesta C. \(\dfrac1{3^n-1}\le\dfrac32\cdot\dfrac1{3^n}\) para \(n\ge1\); la geométrica converge← Volver a la pregunta
Explicación Como \(3^n-1\ge\tfrac23\,3^n\) para \(n\ge1\), vale la cota con factor \(\tfrac32\). Sin ese factor la desigualdad es falsa; con \(\ge\) la dirección no sirve; y la armónica diverge.
Criterio que decide si una serie \(\sum a_n\) de términos no negativos converge comparándola con otra serie \(\sum b_n\) tal que \(a_n\le b_n\).
\[0\le a_n\le b_n\ \Longrightarrow\ \Big(\sum b_n\text{ converge}\Rightarrow\sum a_n\text{ converge}\Big)\]
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