Sean a_n=(2n+1)/(n^3+4) y b_n=1n^2. Calcula lím _n→∞(a_n)/(b_n). (Si el límite es finito y positivo, ambas series se comportan igual.)

Ejercicio · ZW-CRITERIO-DE-COMPARACION-006 · ★★☆ Intermedio

Sean \(a_n=\dfrac{2n+1}{n^3+4}\) y \(b_n=\dfrac1{n^2}\). Calcula \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}\). (Si el límite es finito y positivo, ambas series se comportan igual.)

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\(\frac{a_n}{b_n}=\frac{n^2(2n+1)}{n^3+4}\to2\), finito y positivo; como \(\sum b_n\) converge, \(\sum a_n\) también.

Criterio que decide si una serie \(\sum a_n\) de términos no negativos converge comparándola con otra serie \(\sum b_n\) tal que \(a_n\le b_n\).

\[0\le a_n\le b_n\ \Longrightarrow\ \Big(\sum b_n\text{ converge}\Rightarrow\sum a_n\text{ converge}\Big)\]