Ejercicio · ZW-FUNCION-ARMONICA-COMPLEJA-010 · ★★★ Avanzado
Si \(u\) y \(v\) son armónicas en un abierto, ¿es \(uv\) siempre armónica?
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- C. No: con \(u=v=x\), \(uv=x^2\) tiene \(\Delta(x^2)=2\)
Explicación
La linealidad solo da que \(u+v\) es armónica. En el producto aparece además \(2(u_xv_x+u_yv_y)\), que no se anula en general; con \(u=v=x\) vale \(2\).
Repasa el concepto: Función armónica
Una función real \(u\) de dos variables, con segundas derivadas parciales continuas en un abierto \(U\) del plano, es armónica si su laplaciano \(\Delta u\) es cero en todo \(U\).
\[\Delta u=\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0\]
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