Ejercicio · ZW-FUNCION-ARMONICA-COMPLEJA-009 · ★★★ Avanzado

La función \(u=\ln(x^2+y^2)\) es armónica en \(\mathbb{C}\setminus\{0\}\). ¿Tiene una conjugada armónica en todo ese dominio?

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  • B. No: la conjugada sería \(2\arg z\), que no es univaluada alrededor del origen

Explicación

\(u=2\ln|z|=\operatorname{Re}(2\log z)\), cuya conjugada local es \(2\arg z\); al dar una vuelta alrededor de \(0\) cambia en \(4\pi\). El dominio no es simplemente conexo.

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Repasa el concepto: Función armónica

Una función real \(u\) de dos variables, con segundas derivadas parciales continuas en un abierto \(U\) del plano, es armónica si su laplaciano \(\Delta u\) es cero en todo \(U\).

\[\Delta u=\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0\]

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