Ejercicio · ZW-PARTICION-Y-SUMAS-DE-DARBOUX-010 · ★★★ Avanzado
Sea \(f=1\) en los racionales y \(f=0\) en los irracionales, sobre \([0,1]\). Para cualquier partición \(P\), ¿cuánto vale \(U(f,P)-L(f,P)\)?
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- C. \(1\)
Explicación
Todo subintervalo contiene racionales e irracionales, así que \(M_i=1\), \(m_i=0\), \(U=1\) y \(L=0\) siempre. Refinar nunca cierra la brecha.
Repasa el concepto: Partición y sumas de Darboux
Una partición \(P\) de \([a,b]\) lo divide en subintervalos de longitud \(\Delta x_i\); las sumas inferior \(L\) y superior \(U\) de Darboux usan el ínfimo \(m_i\) y el supremo \(M_i\) de \(f\) en cada uno.
\[L(f,P)=\sum_{i=1}^{n} m_i\,\Delta x_i,\qquad U(f,P)=\sum_{i=1}^{n} M_i\,\Delta x_i\]
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