Ejercicio · ZW-PUNTO-DE-ACUMULACION-001 · ★☆☆ Básico
En \(X=\{1,2,3\}\) con \(\mathcal{T}=\{\varnothing,\{1\},\{1,2\},\{1,2,3\}\}\), ¿cuál es el conjunto derivado de \(A=\{1,3\}\)?
Elige una opción.
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- B. \(\{2,3\}\)
Explicación
En un espacio finito basta revisar el menor abierto que contiene a cada punto. \(1\): el menor abierto es \(\{1\}\), que no contiene puntos de \(A\) distintos de \(1\) (no está en \(A'\)); \(2\): el menor abierto es \(\{1,2\}\), que contiene puntos de \(A\) distintos de \(2\) (sí está en \(A'\)); \(3\): el menor abierto es \(\{1,2,3\}\), que contiene puntos de \(A\) distintos de \(3\) (sí está en \(A'\)). Por tanto \(A'=\{2,3\}\).
Repasa el concepto: Punto de acumulación
Un punto \(x\) de un espacio topológico \(X\) es punto de acumulación de un subconjunto \(A\) si toda vecindad \(N\) de \(x\) contiene algún punto de \(A\) distinto de \(x\); ellos forman el derivado \(A'\).
\[x\in A'\iff \forall N\text{ vecindad de }x:\ (N\setminus\{x\})\cap A\neq\varnothing\]
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