Compacidad · Definición
Compactos en espacios de Hausdorff
Antes de empezar necesitas conocer
Conecta dos ideas opuestas, compacidad y cerradura, justo cuando el espacio tiene suficientes abiertos para separar puntos.
Definición
Todo subconjunto compacto \(K\) de un espacio de Hausdorff \(X\) es cerrado en \(X\), y todo cerrado de un espacio compacto es compacto.
La demostración fija \(p\notin K\). Para cada \(x\in K\), por Hausdorff hay abiertos disjuntos \(U_x\ni p\) y \(V_x\ni x\). Los \(V_x\) cubren a \(K\); por compacidad bastan \(V_{x_1},\dots,V_{x_n}\), y \(U=\bigcap U_{x_i}\) es un abierto con \(p\) que no toca a \(K\). Así \(X\setminus K\) es abierto.
La hipótesis de Hausdorff es indispensable. En el espacio \(\{a,b,c\}\) con abiertos \(\varnothing,\{a\},X\), el conjunto \(\{a\}\) es finito, luego compacto, pero no cerrado; y en la topología cofinita de \(\mathbb{N}\) los pares son compactos y no cerrados.
La otra mitad dice que un cerrado \(F\) de un espacio compacto \(X\) es compacto: una cubierta abierta de \(F\) se completa con \(X\setminus F\) hasta cubrir \(X\), se extrae una subcubierta finita y se descarta \(X\setminus F\). Esta mitad no necesita Hausdorff. Juntas dan que, en un compacto de Hausdorff, compacto y cerrado son lo mismo.
Consecuencias inmediatas: la intersección de compactos de un espacio de Hausdorff es compacta, y en \(\mathbb{R}\) todo compacto es cerrado, lo que es la mitad fácil de Heine-Borel.
Para pensar
¿Por qué en un espacio finito de Hausdorff todo subconjunto es cerrado?
Porque todo subconjunto es finito, luego compacto, y los compactos son cerrados; equivale a decir que el espacio es discreto.
¿Funciona la implicación inversa «cerrado implica compacto» en \(\mathbb{R}\)?
No: \(\mathbb{R}\) es cerrado en sí mismo y no es compacto; solo vale dentro de un espacio compacto.
Ejercicios 10
- Si \(X\) es de Hausdorff y \(K\subseteq X\) es compacto, entonces \(K\) es:
- ¿Cuál de estos subconjuntos de \(\mathbb{R}\) no puede ser compacto?
- En \(X=\{a,b,c\}\) con abiertos \(\varnothing,\{a\},X\), el conjunto \(\{a\}\) es:
- Un espacio de Hausdorff tiene exactamente tres puntos. ¿Cuántos de sus subconjuntos son compactos?
- En la demostración, para separar un punto \(p\notin K\) de \(K\) compacto, ¿qué se hace con los abiertos disjuntos \(U_x\ni p\), \(V_x\ni x\) que da Hausdorff?
- En \(\mathbb{N}\) con la topología cofinita, ¿cuál subconjunto es compacto pero no cerrado?
- Sea \(K\subseteq\mathbb{R}\) compacto y \(x_n\in K\) con \(x_n\to x\) en \(\mathbb{R}\). ¿Es \(x\in K\)?
- Sean \(K_1,K_2\) compactos en un espacio de Hausdorff. Entonces \(K_1\cap K_2\) es:
- En un espacio de Hausdorff \(X\), ¿cuál afirmación es falsa?
- De las \(29\) topologías sobre \(\{1,2,3\}\), ¿en cuántas todo subconjunto compacto es cerrado?
Referencias
- James R. Munkres, Topology, 2nd edition, Pearson, 2000. §26
- Stephen Willard, General Topology, Dover reprint, Dover Publications, 2004. cap. 5