Compacidad secuencial

En \(\mathbb{R}\) la propiedad es el teorema de Bolzano-Weierstrass: toda sucesión acotada tiene una subsucesión convergente. Por eso \([a,b]\) es secuencialmente compacto, y por Heine-Borel lo mismo vale para todo subconjunto cerrado y acotado de \(\mathbb{R}^n\). Lo esencial es que el límite debe vivir en el espacio: \(x_n=1/n\) tiene subsucesiones convergentes en \(\mathbb{R}\), pero todas tienden a \(0\), que no pertenece a \((0,1)\).

Los contraejemplos tienen casi siempre la misma forma. \(\mathbb{R}\) no cumple la propiedad porque \(x_n=n\) no tiene subsucesión convergente, ya que toda subsucesión es no acotada. Un conjunto infinito con la distancia discreta tampoco: una sucesión de puntos distintos solo tendría subsucesiones convergentes si fueran eventualmente constantes, y no lo son.

El resultado central es que, en un espacio métrico, compacto y secuencialmente compacto son equivalentes. Si \(X\) es compacto y una sucesión no tuviera subsucesión convergente, cada punto tendría una bola que contiene términos solo para finitos índices; finitas bolas cubrirían \(X\) y habría finitos índices en total, un absurdo. El recíproco usa el número de Lebesgue: un espacio secuencialmente compacto es totalmente acotado, y toda cubierta abierta tiene un \(\delta\) de Lebesgue, de lo que sale una subcubierta finita.

En espacios topológicos generales las dos nociones se separan: existen espacios compactos que no son secuencialmente compactos y espacios secuencialmente compactos que no son compactos. Por eso la definición se da aquí en espacios métricos, donde coinciden con la compacidad y permiten razonar con sucesiones en lugar de cubiertas.