Separación y conexidad · Definición

Espacio de Hausdorff

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Antes de empezar necesitas conocer

Es la condición mínima para que los puntos de un espacio se puedan distinguir con vecindades, y con ella los límites dejan de ser ambiguos.

Definición

Un espacio topológico \(X\) es de Hausdorff si para cada par de puntos distintos \(x\) y \(y\) existen abiertos disjuntos \(U\ni x\) y \(V\ni y\).

\[x\neq y\ \Rightarrow\ \exists\,U,V\ \text{abiertos}:\ x\in U,\ y\in V,\ U\cap V=\varnothing\]

La idea es que dos puntos distintos tengan vecindades abiertas que no se tocan. En \(\mathbb{R}\) y, en general, en todo espacio métrico se cumple: si \(r=d(x,y)>0\), las bolas de radio \(r/2\) centradas en \(x\) y \(y\) son disjuntas por la desigualdad triangular. A esta propiedad también se le llama axioma de separación \(T_2\).

Los espacios finitos muestran qué tan fuerte es: un espacio finito de Hausdorff es discreto, porque cada punto se separa de los demás y la intersección finita de esos abiertos da \(\{x\}\). En cambio, en la topología trivial o en la cofinita de un conjunto infinito dos abiertos no vacíos siempre se cortan, y no hay separación posible.

La propiedad se hereda: todo subespacio de un espacio de Hausdorff lo es, y un producto de espacios de Hausdorff también. Además, en un espacio de Hausdorff todo punto es un conjunto cerrado y, si \(f:X\to Y\) es continua e inyectiva con \(Y\) de Hausdorff, entonces \(X\) también lo es. Que los unitarios sean cerrados es necesario pero no suficiente: la topología cofinita de \(\mathbb{N}\) cumple lo primero y no lo segundo.

Su valor práctico está en que sobre un espacio de Hausdorff los límites de sucesiones son únicos y los conjuntos compactos son cerrados. Los cocientes, en cambio, pueden destruirla, por lo que hay que comprobarla al pegar o identificar puntos.

Para pensar

¿Por qué un espacio métrico siempre es de Hausdorff?

Si \(x\neq y\) y \(r=d(x,y)\), las bolas abiertas de radio \(r/2\) alrededor de cada uno son disjuntas: un punto común \(z\) daría \(d(x,y)\le d(x,z)+d(z,y)<r\).

¿Es de Hausdorff \(\mathbb{R}\) con la topología cofinita?

No: dos abiertos no vacíos tienen complementos finitos, así que su intersección es infinita y nunca vacía.

Ejercicios 10

  1. ¿Cuál de estas topologías sobre \(X=\{1,2,3\}\) es de Hausdorff?
  2. ¿Cuántas de las 29 topologías posibles sobre un conjunto de 3 puntos son de Hausdorff?
  3. ¿Cuál de estas topologías sobre \(\mathbb{R}\) no es de Hausdorff?
  4. En \(X=\{1,2,3,4\}\) con abiertos \(\varnothing, \{1\}, \{2\}, \{1,2\}, \{3,4\}, \{1,3,4\}, \{2,3,4\}, \{1,2,3,4\}\), ¿cuántos pares de puntos distintos pueden separarse por abiertos disjuntos?
  5. Si \(X\) es de Hausdorff y \(A\subseteq X\), el subespacio \(A\) es:
  6. En un espacio de Hausdorff \(X\), ¿qué se puede afirmar de cada conjunto unitario \(\{x\}\)?
  7. En \(X=\{1,2,3,4\}\) con abiertos \(\varnothing, \{1\}, \{4\}, \{1,4\}, \{2,3\}, \{1,2,3\}, \{2,3,4\}, \{1,2,3,4\}\), ¿qué par de puntos no puede separarse por abiertos disjuntos?
  8. Sea \(f:X\to Y\) continua e inyectiva, con \(Y\) de Hausdorff. ¿Qué se concluye sobre \(X\)?
  9. Sea \(X=\{a,b\}\) con la topología trivial y \(Y\) cualquier espacio de Hausdorff con dos o más puntos. ¿Es \(Y\times X\) con la topología producto de Hausdorff?
  10. Sea \(\mathbb{N}\) con la topología cofinita. ¿Qué afirmación es correcta?

Referencias

  • James R. Munkres, Topology, 2nd edition, Pearson, 2000. §17
  • Bert Mendelson, Introduction to Topology, 3rd edition, Dover Publications, 1990. cap. 3