Continuidad y construcciones · Definición
Topología cociente
Antes de empezar necesitas conocer
Es la forma de pegar o identificar puntos de un espacio y seguir teniendo un espacio topológico.
Definición
La topología \(\mathcal{T}_q\) sobre \(Y\) determinada por una función sobreyectiva \(q:X\to Y\) desde un espacio \((X,\mathcal{T})\), cuyos abiertos son los \(V\subseteq Y\) con \(q^{-1}(V)\) abierto en \(X\).
Cuando se identifican puntos de un espacio, por ejemplo los dos extremos de un segmento, se obtiene una función sobreyectiva \(q:X\to Y\) que manda cada punto a su clase. La topología cociente declara abierto un conjunto de clases cuando la unión de las clases correspondientes es abierta en \(X\), es decir, cuando \(q^{-1}(V)\) lo es.
Con esta definición \(q\) es continua, y la topología cociente es la más fina que lo logra. La propiedad clave es universal: una función \(f:Y\to Z\) es continua exactamente cuando \(f\circ q\) es continua. Así, para definir una función continua desde un espacio pegado basta definirla en \(X\) de modo que sea constante en cada clase.
Ejemplo guía: en \([0,1]\) con \(0\sim 1\) se obtiene una circunferencia, y en un cuadrado, pegando lados opuestos, un toro. Ojo: el cociente puede perder propiedades; por ejemplo, un cociente de un espacio de Hausdorff puede no ser de Hausdorff. El error típico es pedir que \(q(V)\) sea abierto en vez de \(q^{-1}(V)\).
Se apoya en la función continua y prepara la construcción de superficies y espacios por pegado, así como el estudio de espacios homogéneos.
Para pensar
Si \(X\) es discreto, ¿cómo es cualquier cociente de \(X\)?
Discreto: toda preimagen es abierta, así que todo subconjunto del cociente es abierto.
¿Por qué \(q\) es continua para la topología cociente?
Porque los abiertos del cociente se definieron justo como los \(V\) con \(q^{-1}(V)\) abierto.
Ejercicios 10
- Con \(X=\{1,2,3,4\}\) con abiertos \(\varnothing,\{1\},\{2\},\{1,2\},\{1,2,3\},X\), \(Y=\{a,b,c\}\) y \(q(1)=q(2)=a\), \(q(3)=b\), \(q(4)=c\), ¿cuántos abiertos tiene la topología cociente sobre \(Y\)?
- Con \(X=\{1,2,3,4\}\) con abiertos \(\varnothing,\{1\},\{2\},\{1,2\},\{1,2,3\},X\), \(Y=\{a,b,c\}\) y \(q(1)=q(2)=a\), \(q(3)=b\), \(q(4)=c\), ¿cuál de estos subconjuntos de \(Y\) es abierto en la topología cociente?
- Sea \(q:X\to Y\) sobreyectiva y \(X\) un espacio topológico. ¿Cuándo es abierto un conjunto \(V\subseteq Y\) en la topología cociente?
- Al identificar los extremos del intervalo \([0,1]\) (es decir, \(0\sim 1\)) con la topología cociente se obtiene homeomorfo a…
- Entre todas las topologías sobre \(Y\) que hacen continua a \(q:X\to Y\), la topología cociente es…
- Con \(X=\{1,2,3,4\}\) con abiertos \(\varnothing,\{1\},\{2\},\{1,2\},\{1,2,3\},X\), \(Y=\{a,b,c\}\) y \(q(1)=q(2)=a\), \(q(3)=b\), \(q(4)=c\), ¿cuál de estos subconjuntos de \(Y\) es cerrado en la topología cociente?
- Sea \(X=\{1,2,3,4\}\) con la topología discreta y \(q:X\to\{a,b\}\) dada por \(q(1)=q(2)=a\), \(q(3)=q(4)=b\). ¿Cuántos abiertos tiene la topología cociente?
- Sea \(X=\{1,2,3\}\) con abiertos \(\varnothing,\{1\},\{1,2\},X\) y \(q:X\to\{a,b\}\) con \(q(1)=a\), \(q(2)=q(3)=b\). ¿Cuántos abiertos tiene la topología cociente?
- Sea \(X=\{1,2,3\}\) con abiertos \(\varnothing,\{1\},\{2\},\{1,2\},X\) y \(q:X\to\{a,b\}\) con \(q(1)=q(2)=a\), \(q(3)=b\). ¿Cuáles son los abiertos de la topología cociente?
- Con \(X=\{1,2,3,4\}\) con abiertos \(\varnothing,\{1\},\{2\},\{1,2\},\{1,2,3\},X\), \(Y=\{a,b,c\}\) y \(q(1)=q(2)=a\), \(q(3)=b\), \(q(4)=c\), sea \(Z=\{0,1\}\) con abiertos \(\varnothing,\{1\},Z\). ¿Cuántas funciones \(f:Y\to Z\) son continuas respecto de la topología cociente?
Referencias
- James R. Munkres, Topology, 2nd edition, Pearson, 2000. §22
- Stephen Willard, General Topology, Dover reprint, Dover Publications, 2004. §9