Ejercicio · ZW-PUNTO-DE-ACUMULACION-008 · ★★☆ Intermedio
En \(\mathbb{R}\) usual, ¿cuál es el conjunto derivado \(\mathbb{Q}'\) de los racionales?
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- D. \(\mathbb{R}\)
Explicación
Todo intervalo abierto alrededor de cualquier real contiene infinitos racionales distintos de ese real (los racionales son densos). Luego cada real es punto de acumulación de \(\mathbb{Q}\) y \(\mathbb{Q}'=\mathbb{R}\).
Repasa el concepto: Punto de acumulación
Un punto \(x\) de un espacio topológico \(X\) es punto de acumulación de un subconjunto \(A\) si toda vecindad \(N\) de \(x\) contiene algún punto de \(A\) distinto de \(x\); ellos forman el derivado \(A'\).
\[x\in A'\iff \forall N\text{ vecindad de }x:\ (N\setminus\{x\})\cap A\neq\varnothing\]
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