Espacio conexo

Una separación de \(X\) es un par de abiertos disjuntos no vacíos cuya unión es \(X\); el espacio es conexo cuando no admite ninguna. Equivalentemente, los únicos subconjuntos que son abiertos y cerrados a la vez son \(\varnothing\) y \(X\), porque si \(U\) es abierto y cerrado, \(U\) y \(X\setminus U\) forman una separación. Un subconjunto \(A\subseteq X\) es conexo si lo es como subespacio.

En la recta real los conexos son exactamente los intervalos. Por eso \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\) no es conexo (lo parten \((-\infty,0)\) y \((0,\infty)\)) y tampoco lo es \(\mathbb{Q}\), que se separa en el corte de cualquier irracional. Entre los espacios finitos, la topología trivial es conexa y la discreta con dos o más puntos no lo es.

Las operaciones respetan la conexidad: la unión de conexos que comparten un punto es conexa, y la imagen continua de un conexo es conexa. De la segunda se deduce el teorema del valor intermedio: si \(f:[a,b]\to\mathbb{R}\) es continua, \(f([a,b])\) es un intervalo. También permite distinguir espacios, pues un homeomorfismo lleva conexos en conexos.

Ojo: conexo no es lo mismo que conexo por caminos, aunque lo segundo implica lo primero. Y no confundir «conexo» con «sin huecos» en el sentido geométrico: una circunferencia sí es conexa, aunque encierre un hueco.