Ejercicio · ZW-PUNTO-DE-ACUMULACION-002 · ★☆☆ Básico

En \(X=\{a,b,c,d\}\) con \(\mathcal{T}=\{\varnothing,\{a\},\{b\},\{a,b\},\{a,b,c\},\{a,b,c,d\}\}\), ¿cuál es el conjunto derivado de \(A=\{a,c\}\)?

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  • D. \(\{c,d\}\)

Explicación

En un espacio finito basta revisar el menor abierto que contiene a cada punto. \(a\): el menor abierto es \(\{a\}\), que no contiene puntos de \(A\) distintos de \(a\) (no está en \(A'\)); \(b\): el menor abierto es \(\{b\}\), que no contiene puntos de \(A\) distintos de \(b\) (no está en \(A'\)); \(c\): el menor abierto es \(\{a,b,c\}\), que contiene puntos de \(A\) distintos de \(c\) (sí está en \(A'\)); \(d\): el menor abierto es \(\{a,b,c,d\}\), que contiene puntos de \(A\) distintos de \(d\) (sí está en \(A'\)). Por tanto \(A'=\{c,d\}\).

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Repasa el concepto: Punto de acumulación

Un punto \(x\) de un espacio topológico \(X\) es punto de acumulación de un subconjunto \(A\) si toda vecindad \(N\) de \(x\) contiene algún punto de \(A\) distinto de \(x\); ellos forman el derivado \(A'\).

\[x\in A'\iff \forall N\text{ vecindad de }x:\ (N\setminus\{x\})\cap A\neq\varnothing\]

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