Número de Lebesgue

El diámetro de un conjunto \(A\) es el supremo de las distancias entre sus puntos, \(\operatorname{diam}A=\sup\{d(a,b):a,b\in A\}\). Un número de Lebesgue \(\delta\) dice que, a esa escala, la cubierta ya no «corta» a ningún conjunto pequeño: todo lo que mida menos que \(\delta\) cabe entero en una pieza. Si \(\delta\) sirve, también sirve cualquier número positivo menor, así que importa la existencia más que el valor óptimo.

Sin compacidad no hay garantía. La cubierta \(U_n=(1/n,1)\) de \((0,1)\) no tiene número de Lebesgue, pues \((0,\delta/2)\) tiene diámetro menor que \(\delta\) y no cabe en ningún \(U_n\). Con compacidad sí: es el lema de Lebesgue. Si \(X\) es métrico compacto, la función \(f(x)=\max_U d(x,X\setminus U)\) es continua y positiva, y su mínimo \(\delta>0\) es un número de Lebesgue, porque un conjunto de diámetro menor que \(\delta\) que contiene a \(a\) queda dentro de \(B(a,\delta)\), y esta cabe en algún miembro.

Un ejemplo calculable: la cubierta \([0,0.6)\), \((0.4,1]\) de \([0,1]\) admite exactamente los \(\delta\le0.2\), porque el conjunto \(\{0.4,0.6\}\) tiene diámetro \(0.2\) y no cabe en ningún miembro. En intervalos basta mirar pares de puntos, pues un conjunto contenido en un intervalo está en un miembro si y solo si lo están su mínimo y su máximo.

El lema es la herramienta que pasa de lo local a lo global: permite partir \([a,b]\) en subintervalos de longitud menor que \(\delta\), cada uno dentro de un miembro de la cubierta, y de ahí se deduce que toda función continua en un compacto es uniformemente continua. También interviene en la equivalencia entre compacidad y compacidad secuencial en espacios métricos.