Espacio topológico

La definición separa dos ingredientes: el conjunto de puntos \(X\) y la familia \(\mathcal{T}\) que dice cuáles subconjuntos cuentan como abiertos. El mismo conjunto puede tener muchas topologías distintas, y cambiar \(\mathcal{T}\) cambia el espacio, no el conjunto. Por eso se escribe el par \((X,\mathcal{T})\) y se dice «el espacio \(X\)» solo cuando la topología se sobrentiende.

Los ejemplos cotidianos son \(\mathbb{R}\) con la topología usual, donde los abiertos son uniones de intervalos \((a,b)\), y cualquier espacio métrico con los abiertos que define su distancia. Pero hay espacios topológicos que no vienen de ninguna métrica, como un conjunto con solo \(\varnothing\) y \(X\) como abiertos, y por eso la noción es más general.

Una trampa frecuente es creer que un subconjunto «sin borde» es abierto en cualquier espacio. Ser abierto depende de la topología elegida: \(\{1\}\) no es abierto en \(\mathbb{R}\) usual, pero sí lo es en \(\mathbb{Z}\) con la topología discreta. Los axiomas garantizan lo mínimo: \(\varnothing\) y \(X\) siempre son abiertos, y las uniones arbitrarias y las intersecciones finitas de abiertos lo siguen siendo.

A partir de los abiertos se definen los cerrados, las vecindades, el interior y la cerradura, y las funciones continuas. Los siguientes conceptos del tema recorren primero los dos casos extremos, la topología discreta y la trivial, y luego esas construcciones.