Imagen continua de un compacto

La demostración es directa: si una familia de abiertos de \(Y\) cubre a \(f(X)\), sus preimágenes son abiertos de \(X\) (por continuidad) que cubren a \(X\); la compacidad deja finitas de ellas, y las imágenes de esas finitas preimágenes siguen cubriendo a \(f(X)\).

La hipótesis de compacidad recae en el dominio. La función continua \(f(x)=1/x\) lleva el no compacto \((0,1]\) en \([1,\infty)\), que tampoco lo es; y una función continua desde un dominio no compacto puede tener imagen compacta, como \(\sin:\mathbb{R}\to[-1,1]\). La implicación inversa, por tanto, es falsa.

En particular, una función continua \(f:X\to\mathbb{R}\) con \(X\) compacto tiene imagen compacta en \(\mathbb{R}\), es decir, cerrada y acotada: está acotada y alcanza su máximo y su mínimo. Este es el teorema del valor extremo, que justifica buscar extremos de \(f\) en \([a,b]\) entre los extremos del intervalo y los puntos críticos.

Otra consecuencia: ser compacto es una propiedad topológica, pues si \(f\) es un homeomorfismo, \(f(X)\) y \(X\) son simultáneamente compactos. Así \((0,1)\) no es homeomorfo a \([0,1]\).