Base de una topología

En lugar de listar todos los abiertos, basta dar una base: los demás se obtienen como uniones (el vacío es la unión de cero miembros). Las bolas abiertas forman una base de la topología de cualquier espacio métrico, y los intervalos \((a,b)\) de la usual de \(\mathbb{R}\); incluso bastan los de extremos racionales, lo que hace numerable la base.

No toda familia de subconjuntos es base de alguna topología. Una familia \(\mathcal{B}\) de subconjuntos de \(X\) genera una topología exactamente cuando cubre \(X\) y, si \(x\in B_1\cap B_2\) con \(B_1,B_2\in\mathcal{B}\), existe \(B_3\in\mathcal{B}\) con \(x\in B_3\subseteq B_1\cap B_2\). En ese caso la topología generada \(\mathcal{T}_{\mathcal{B}}\) está formada por las uniones de miembros de \(\mathcal{B}\).

Una topología tiene muchas bases: agregar abiertos a una base da otra base de la misma topología. Una forma útil de usarla es esta: \(U\) es abierto si y solo si cada \(x\in U\) tiene un \(B\in\mathcal{B}\) con \(x\in B\subseteq U\). Por eso, para comprobar propiedades de todos los abiertos, basta comprobarlas en los miembros de la base.

Las bases permiten construir topologías nuevas, como la producto, y comparar topologías: si cada miembro de una base de \(\mathcal{T}\) es unión de miembros de una base de \(\mathcal{T}'\), entonces \(\mathcal{T}\subseteq\mathcal{T}'\).