Teorema de Heine-Borel

Una implicación es general: todo compacto en un espacio métrico es cerrado y acotado. Es cerrado porque un espacio métrico es de Hausdorff, y es acotado porque las bolas abiertas \(B(x_0,n)\) lo cubren y bastan finitas. La implicación difícil es la inversa, que usa la completitud de \(\mathbb{R}\).

En \(\mathbb{R}\), el esquema es el siguiente: un cerrado y acotado cabe en algún \([a,b]\), este se prueba compacto bisecándolo (si no tuviera subcubierta finita, alguna mitad tampoco, y los intervalos encajados convergen a un punto cubierto por un abierto de la cubierta, contradicción), y un cerrado de un compacto es compacto. Para \(\mathbb{R}^n\) se usa que un producto finito de compactos es compacto.

El teorema es lo que hace manejable la compacidad en el análisis: \(\{x:g(x)\le c\}\) con \(g\) continua es cerrado, y si además está acotado es compacto; esto asegura máximos y mínimos. Ejemplos: la esfera \(S^{n-1}\) y las bolas cerradas son compactas, el espacio \(\mathbb{R}^n\) y las bolas abiertas no.

Fuera de \(\mathbb{R}^n\) la equivalencia falla. El intervalo \((0,1)\) con la distancia usual es cerrado y acotado en sí mismo pero no compacto, y un conjunto infinito con la distancia discreta (\(d=1\) entre puntos distintos) es acotado y cerrado sin ser compacto. En espacios métricos la caracterización correcta es: completo y totalmente acotado.