Topología discreta y topología trivial

Sobre cualquier conjunto \(X\), toda topología \(\mathcal{T}\) cumple \(\{\varnothing,X\}\subseteq\mathcal{T}\subseteq\mathcal{P}(X)\). La trivial, también llamada indiscreta, es la menor posible y la discreta es la mayor. Si \(X\) tiene \(n\) puntos, la discreta tiene \(2^n\) abiertos y la trivial siempre tiene 2 (o 1 si \(X=\varnothing\)).

En la discreta, cada punto \(x\) es abierto como singleton \(\{x\}\), y de ahí sale que todo subconjunto lo sea, por ser unión de singletons. En la trivial ocurre lo contrario: el único abierto que contiene a un punto es \(X\), así que la topología no distingue unos puntos de otros. Cuando \(X\) tiene dos o más puntos, las dos topologías son distintas, y en un conjunto de tres puntos hay otras 27 entre ellas.

La topología discreta es la que induce la métrica discreta, \(d(x,y)=1\) si \(x\neq y\), pues allí \(B(x,1)=\{x\}\). La trivial, en cambio, no proviene de ninguna métrica cuando \(X\) tiene al menos dos puntos: toda métrica separa puntos con bolas pequeñas, y eso daría abiertos propios.

Sirven como casos de prueba de cualquier definición topológica: si una propiedad falla en la discreta o en la trivial, suele ser porque se olvidó una hipótesis.