Compacidad · Definición

Cubierta abierta

topologíacompacidadespacios topológicos

Antes de empezar necesitas conocer

Es el lenguaje con el que se formula la compacidad: una forma de recubrir un conjunto con piezas abiertas.

Definición

Una cubierta abierta de un subconjunto \(A\) de un espacio topológico \(X\) es una familia \(\mathcal{U}\) de abiertos \(U\) de \(X\) cuya unión contiene a \(A\).

\[A\subseteq\bigcup_{U\in\mathcal{U}}U\]

Cubrir \(A\) significa que cada punto de \(A\) pertenece a por lo menos un abierto de la familia; los abiertos pueden salirse de \(A\) y pueden ser infinitos, incluso incontables. Una cubierta de \(X\) completo siempre existe, por ejemplo \(\{X\}\), así que lo interesante no es que existan sino cuánto se pueden adelgazar.

Una subcubierta es una subfamilia que sigue cubriendo. La cubierta \(\{(-n,n)\}\) de \(\mathbb{R}\) no admite ninguna subcubierta finita, pero la misma familia sí admite una para \([-5,5]\), pues \((-6,6)\) basta. En el intervalo \((0,1)\), la familia \(\{(1/n,1)\}\) lo cubre y ninguna parte finita lo hace; ahí se ve cómo los extremos ausentes estropean la finitud.

Si \(\mathcal{U}\) cubre a \(A\), también cubre a todo \(B\subseteq A\), y las uniones de cubiertas cubren uniones de conjuntos. En el subespacio \(A\) también se habla de cubiertas por abiertos de \(A\), que son las trazas \(U\cap A\); ambas formulaciones son equivalentes para decidir qué es compacto.

Todo esto prepara la definición siguiente: un espacio es compacto cuando cada una de sus cubiertas abiertas contiene una subcubierta finita.

Para pensar

¿Por qué \(\{(n,n+1):n\in\mathbb{Z}\}\) no cubre \(\mathbb{R}\)?

Porque los enteros no pertenecen a ningún intervalo abierto de la familia.

Si \(\mathcal{U}\) cubre \(A\) y \(B\subseteq A\), ¿cubre \(\mathcal{U}\) a \(B\)?

Sí: cada punto de \(B\) está en \(A\) y por tanto en algún abierto de \(\mathcal{U}\).

Ejercicios 10

  1. ¿Cuál de estas familias de abiertos es una cubierta abierta de \(\mathbb{R}\)?
  2. En \(X=\{1,2,3\}\) con abiertos \(\varnothing,\{1\},\{1,2\},X\), ¿cuál familia de abiertos es cubierta de \(X\)?
  3. ¿Cuál es la unión de la familia \(\{(1/n,1): n\ge2\}\)?
  4. ¿Cuántas subfamilias no vacías de \(\{\{1\},\{2\},\{1,2\}\}\) son cubiertas de \(X=\{1,2\}\) (topología discreta)?
  5. Una subcubierta de una cubierta abierta \(\mathcal{U}\) de \(A\) es:
  6. La cubierta \(\{(-n,n): n\ge1\}\) de \(\mathbb{R}\) admite una subcubierta finita de uno solo de estos conjuntos. ¿Cuál?
  7. ¿Cuántos intervalos abiertos de longitud \(0.2\) se necesitan, como mínimo, para cubrir \([0,1]\)?
  8. En \(X=\{1,2,3\}\) con abiertos \(\varnothing,\{1\},\{1,2\},X\), ¿cuántas subfamilias de \(\{\{1\},\{1,2\},X\}\) cubren a \(X\)?
  9. ¿Admite subcubierta finita la cubierta \(\{(1/n,1): n\ge2\}\) del intervalo \((0,1)\)?
  10. \(\mathcal{U}\) cubre a \(A\) y \(\mathcal{V}\) cubre a \(B\). ¿Cuál afirmación es siempre verdadera?

Referencias

  • James R. Munkres, Topology, 2nd edition, Pearson, 2000. §26
  • Stephen Willard, General Topology, Dover reprint, Dover Publications, 2004. cap. 5