Cerradura de un conjunto

Un punto \(x\) está en \(\overline{A}\) exactamente cuando todo abierto que contiene a \(x\) corta a \(A\). Por eso en \(\mathbb{R}\) usual \(\overline{(0,1)}=[0,1]\): los extremos se agregan porque cualquier intervalo alrededor de ellos toca el conjunto. Del mismo modo \(\overline{\mathbb{Q}}=\mathbb{R}\), pues todo intervalo contiene racionales.

Siempre \(A\subseteq\overline{A}\), y \(\overline{A}=A\) si y solo si \(A\) es cerrado. Además \(\overline{\overline{A}}=\overline{A}\), \(A\subseteq B\) implica \(\overline{A}\subseteq\overline{B}\) y \(\overline{A\cup B}=\overline{A}\cup\overline{B}\). Con la intersección solo vale \(\overline{A\cap B}\subseteq\overline{A}\cap\overline{B}\), y la inclusión puede ser estricta: con \((0,1)\) y \((1,2)\) el lado izquierdo es vacío y el derecho es \(\{1\}\).

La cerradura depende de la topología: en la discreta \(\overline{A}=A\); en la trivial, todo conjunto no vacío tiene cerradura \(X\). Se relaciona con el interior por dualidad, \(X\setminus\overline{A}=\operatorname{int}(X\setminus A)\), y junto con él define la frontera. Un error típico es creer que la cerradura solo añade puntos de «borde» visibles: en un espacio finito puede agregar puntos de maneras poco intuitivas.