Frontera de un conjunto

Un punto está en \(\partial A\) exactamente cuando todo abierto que lo contiene corta tanto a \(A\) como a \(X\setminus A\). De ahí la fórmula equivalente \(\partial A=\overline{A}\cap\overline{X\setminus A}\), que muestra que \(\partial A=\partial(X\setminus A)\). En \(\mathbb{R}\) usual, \(\partial[0,1]=\partial(0,1)=\{0,1\}\) y \(\partial\mathbb{Q}=\mathbb{R}\).

La frontera es siempre un conjunto cerrado y es disjunta del interior de \(A\); el espacio se descompone en tres partes disjuntas, \(X=\operatorname{int}A\cup\partial A\cup\operatorname{int}(X\setminus A)\). Un conjunto es abierto si y solo si no contiene ningún punto de su frontera, y cerrado si y solo si la contiene completa. Por tanto \(\partial A=\varnothing\) exactamente cuando \(A\) es abierto y cerrado a la vez.

Cuidado: la frontera topológica no es lo que sugiere la intuición geométrica. En \(\mathbb{R}\), el conjunto \((0,1)\cup(1,2)\) tiene frontera \(\{0,1,2\}\), pues el punto \(1\) toca a ambos lados. En la topología discreta toda frontera es vacía, y en la trivial todo subconjunto propio no vacío tiene frontera \(X\).