Función continua entre espacios topológicos

Para \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) con la topología usual, la definición coincide con la de \(\varepsilon\)–\(\delta\): la preimagen de cada intervalo abierto contiene un intervalo alrededor de cada uno de sus puntos. La ventaja es que se aplica a cualquier par de espacios, aun sin métricas, y se maneja con una sola idea: preimágenes.

Las preimágenes respetan uniones e intersecciones, \(f^{-1}(\bigcup V_i)=\bigcup f^{-1}(V_i)\) y \(f^{-1}(V\cap W)=f^{-1}(V)\cap f^{-1}(W)\). Por eso basta comprobar la condición en los abiertos de una base de \(Y\). Además, la composición de continuas es continua, pues \((g\circ f)^{-1}(W)=f^{-1}(g^{-1}(W))\).

La continuidad depende de ambas topologías. Si el dominio es discreto, toda función es continua; si el destino es trivial, toda función es continua; las constantes lo son siempre. En cambio, la identidad de un conjunto, de una topología a otra, es continua exactamente cuando la del dominio contiene a todos los abiertos de la del destino (es más fina).

Error típico: confundir continuidad con enviar abiertos en abiertos. Una función continua puede mandar un abierto a un conjunto que no es abierto (la constante \(x\mapsto0\) manda \(\mathbb{R}\) a \(\{0\}\)), y una función que manda abiertos en abiertos puede no ser continua. Si además es biyectiva y su inversa también es continua se tiene un homeomorfismo.