En \(X=\{1,2,3,4\}\) con \(\mathcal{T}=\{\varnothing,\{1\},\{3\},\{1,3\},\{1,2,3\},\{1,3,4\},\{1,2,3,4\}\}\), ¿cuál es el conjunto derivado de \(A=\{1,2\}\)?
En un espacio finito basta revisar el menor abierto que contiene a cada punto. \(1\): el menor abierto es \(\{1\}\), que no contiene puntos de \(A\) distintos de \(1\) (no está en \(A'\)); \(2\): el menor abierto es \(\{1,2,3\}\), que contiene puntos de \(A\) distintos de \(2\) (sí está en \(A'\)); \(3\): el menor abierto es \(\{3\}\), que no contiene puntos de \(A\) distintos de \(3\) (no está en \(A'\)); \(4\): el menor abierto es \(\{1,3,4\}\), que contiene puntos de \(A\) distintos de \(4\) (sí está en \(A'\)). Por tanto \(A'=\{2,4\}\).
Un punto \(x\) de un espacio topológico \(X\) es punto de acumulación de un subconjunto \(A\) si toda vecindad \(N\) de \(x\) contiene algún punto de \(A\) distinto de \(x\); ellos forman el derivado \(A'\).
\[x\in A'\iff \forall N\text{ vecindad de }x:\ (N\setminus\{x\})\cap A\neq\varnothing\]