Compacidad · Definición
Espacio compacto
Antes de empezar necesitas conocer
Es la propiedad que traslada a espacios generales la finitud de los intervalos cerrados y acotados.
Definición
Un espacio topológico \(X\) es compacto si toda cubierta abierta \(\mathcal{U}\) de \(X\) tiene una subcubierta finita.
Compacto no significa «pequeño» ni «finito», sino que no se puede escapar al infinito: por muchos abiertos que se usen para recubrir el espacio, siempre bastan finitos. Todo espacio finito es compacto, y la topología cofinita sobre cualquier conjunto también, aunque el conjunto sea infinito.
En \(\mathbb{R}\), el teorema de Heine-Borel dice que los compactos son exactamente los cerrados y acotados. Por eso \([0,1]\) lo es, mientras que \((0,1)\) no (la cubierta \(\{(1/n,1)\}\) no se adelgaza) y \(\mathbb{R}\) tampoco (\(\{(-n,n)\}\) no se adelgaza).
Un subconjunto \(A\subseteq X\) es compacto como subespacio si y solo si toda familia de abiertos de \(X\) que lo cubre contiene una subfamilia finita que lo sigue cubriendo. La unión de dos compactos es compacta; con infinitos puede fallar, y un cerrado dentro de un compacto sigue siendo compacto.
Para mostrar que un espacio no es compacto basta una cubierta que falle; para mostrar que sí lo es hay que tratar una cubierta arbitraria. Los dos conceptos siguientes dicen cómo se comporta la compacidad con los cerrados y con las funciones continuas.
Para pensar
¿Es compacto \(\mathbb{Q}\cap[0,1]\) con la topología usual?
No: no es cerrado en \(\mathbb{R}\). Los intervalos abiertos alrededor de cada racional que dejan fuera a \(\sqrt2/2\), con radios que tienden a \(0\) hacia él, forman una cubierta sin subcubierta finita.
¿Por qué ser infinito no impide ser compacto?
Porque la definición pide subcubierta finita, no puntos finitos; \([0,1]\) y el espacio cofinito son compactos e infinitos.
Ejercicios 10
- ¿Cuál de estos subconjuntos de \(\mathbb{R}\) es compacto?
- Un espacio topológico finito, ¿es compacto?
- Para \(n\ge 1\) entero, los intervalos \((-n,n)\) cubren \(\mathbb{R}\). ¿Cuál es el menor \(n\) tal que \((-n,n)\) contiene a \([-5,5]\)?
- Sea \(X\) un conjunto infinito con la topología discreta. ¿Es compacto?
- ¿Cuál subconjunto de \(\mathbb{R}\) es compacto?
- Sea \(X=\{a,b,c,d,e\}\) con la topología discreta y la cubierta \(\{a,b\},\{c,d\},\{e\},\{b,c\},\{d,e\},\{a,e\}\). ¿Cuántos abiertos tiene como mínimo una subcubierta?
- Sea \(X\) un conjunto infinito con la topología cofinita (los abiertos son \(\varnothing\) y los complementos de conjuntos finitos). ¿Es compacto?
- Para probar que \(A=(0,1)\) no es compacto basta exhibir:
- Sean \(K_1,K_2\) subconjuntos compactos de un espacio \(X\). ¿Qué afirmación es verdadera?
- Sea \(X=\mathbb{N}\) con abiertos \(\varnothing\) y \(U_k=\{k,k+1,\dots\}\), \(k\ge1\). ¿Es compacto?
Referencias
- James R. Munkres, Topology, 2nd edition, Pearson, 2000. §26
- Stephen Willard, General Topology, Dover reprint, Dover Publications, 2004. cap. 5