Continuidad y construcciones · Definición
Topología producto
Antes de empezar necesitas conocer
Permite dar una topología natural a un par de espacios a la vez, como el plano a partir de dos rectas.
Definición
La topología sobre el producto \(X\times Y\) de dos espacios \((X,\mathcal{T}_X)\) y \((Y,\mathcal{T}_Y)\) que tiene por base \(\mathcal{B}\) los conjuntos \(U\times V\) con \(U\) y \(V\) abiertos.
Para dos conjuntos, los abiertos del producto no pueden ser solo los productos \(U\times V\): la unión de dos de ellos rara vez es otro producto. Por eso se toman esos productos como base, y los abiertos son todas sus uniones. En \(\mathbb{R}\times\mathbb{R}\) esto da los rectángulos abiertos como base, y se recupera la topología usual del plano.
La topología producto es la más gruesa que hace continuas a las dos proyecciones \(\pi_1:X\times Y\to X\) y \(\pi_2:X\times Y\to Y\): la preimagen de un abierto \(U\) es \(U\times Y\), que es básico. Además, una función hacia \(X\times Y\) es continua exactamente cuando lo son sus dos componentes, lo que la hace la elección natural.
Conviene recordar dos propiedades de cálculo: la cerradura de un producto es el producto de las cerraduras, \(\overline{A\times B}=\overline{A}\times\overline{B}\), y el producto de bases es base del producto. El error típico es creer que todo abierto del producto tiene la forma \(U\times V\); en general es solo una unión de ellos.
Se apoya en la noción de base y prepara el estudio de la compacidad y la conexión de productos, así como de la topología cociente, que pega puntos en lugar de multiplicar espacios.
Para pensar
¿Es abierto en \(\mathbb{R}^2\) el conjunto \(\{(x,y):\ x>0\}\)?
Sí: es \((0,\infty)\times\mathbb{R}\), producto de dos abiertos.
¿Por qué la proyección \(\pi_1\) es continua?
Porque \(\pi_1^{-1}(U)=U\times Y\) es un producto de abiertos para todo abierto \(U\) de \(X\).
Ejercicios 10
- Sean \(S=\{0,1\}\) con abiertos \(\varnothing,\{1\},S\) y \(T=\{a,b,c\}\) con abiertos \(\varnothing,\{a\},\{a,b\},T\). ¿Cuántos conjuntos distintos de la forma \(U\times V\) hay, con \(U\) abierto de \(S\) y \(V\) abierto de \(T\)?
- Con \(S=\{0,1\}\) con abiertos \(\varnothing,\{1\},S\) y \(T=\{a,b,c\}\) con abiertos \(\varnothing,\{a\},\{a,b\},T\), ¿cuántos abiertos tiene la topología producto sobre \(S\times T\)?
- Con \(S=\{0,1\}\) con abiertos \(\varnothing,\{1\},S\) y \(T=\{a,b,c\}\) con abiertos \(\varnothing,\{a\},\{a,b\},T\), ¿cuál de estos subconjuntos de \(S\times T\) es abierto?
- Con \(S=\{0,1\}\) con abiertos \(\varnothing,\{1\},S\) y \(T=\{a,b,c\}\) con abiertos \(\varnothing,\{a\},\{a,b\},T\) y la proyección \(\pi_1:S\times T\to S\), ¿cuántos puntos tiene \(\pi_1^{-1}(\{1\})\)?
- ¿Cuál afirmación sobre los abiertos de la topología producto sobre \(X\times Y\) es correcta?
- Con \(S=\{0,1\}\) con abiertos \(\varnothing,\{1\},S\) y \(T=\{a,b,c\}\) con abiertos \(\varnothing,\{a\},\{a,b\},T\), ¿cuántos puntos tiene la cerradura de \(\{(0,a)\}\) en \(S\times T\)?
- ¿Cuál es una base de la topología usual (producto) de \(\mathbb{R}\times\mathbb{R}\)?
- En \(\mathbb{R}\times\mathbb{R}\) con la topología producto, ¿cuál de estos conjuntos NO es abierto?
- Con \(S=\{0,1\}\) con abiertos \(\varnothing,\{1\},S\) y \(T=\{a,b,c\}\) con abiertos \(\varnothing,\{a\},\{a,b\},T\), ¿cuántos abiertos de \(S\times T\) NO son de la forma \(U\times V\)?
- Sea \(S=\{0,1\}\) con abiertos \(\varnothing,\{1\},S\). ¿Cuántos abiertos tiene la topología producto sobre \(S\times S\)?
Después de esto
Referencias
- James R. Munkres, Topology, 2nd edition, Pearson, 2000. §15
- Stephen Willard, General Topology, Dover reprint, Dover Publications, 2004. §8