Separación y conexidad · Definición

Espacio conexo por caminos

topologíaconexidadcaminos

Antes de empezar necesitas conocer

Es la versión «con curvas» de la conexidad: en lugar de pedir que el espacio no se parta, pedimos poder viajar de un punto a otro sin salir de él.

Definición

Un espacio \(X\) es conexo por caminos si cada par de puntos \(a,b\in X\) se une con un camino: una función continua \(\gamma:[0,1]\to X\) con \(\gamma(0)=a\) y \(\gamma(1)=b\).

\[\forall a,b\in X\ \exists\,\gamma:[0,1]\to X\text{ continua},\ \gamma(0)=a,\ \gamma(1)=b\]

Un camino de \(a\) a \(b\) es una función continua \(\gamma:[0,1]\to X\) con \(\gamma(0)=a\) y \(\gamma(1)=b\). En \(\mathbb R\) o \(\mathbb R^n\) basta el segmento \(\gamma(t)=(1-t)a+tb\), así que los conjuntos convexos son conexos por caminos. Otros ejemplos son la circunferencia, las esferas y \(\mathbb R^2\) sin un punto.

Los caminos se pueden invertir con \(t\mapsto\gamma(1-t)\) y concatenar: si \(\alpha\) va de \(a\) a \(b\) y \(\beta\) de \(b\) a \(c\), el camino que vale \(\alpha(2t)\) en la primera mitad y \(\beta(2t-1)\) en la segunda va de \(a\) a \(c\). Por eso «poder unir» es una relación de equivalencia, cuyas clases son las componentes por caminos.

Todo espacio conexo por caminos es conexo: la imagen de \([0,1]\) bajo un camino es conexa, por lo que dos puntos unidos por un camino nunca quedan en abiertos disjuntos que separen al espacio. Así, \(\mathbb Z\), \(\mathbb R\setminus\{0\}\) o un espacio discreto de dos puntos no admiten caminos entre sus piezas.

El recíproco es falso en general: la curva seno del topólogo, \(\{(x,\sin(1/x)):x>0\}\) junto con su adherencia sobre el eje, es conexa pero no conexa por caminos. En cambio, en espacios finitos ambas nociones coinciden, y en abiertos de \(\mathbb R^n\) también. Un error típico es creer que un espacio conexo siempre se puede recorrer con un camino.

Para pensar

Si \(X\) es conexo por caminos y \(f:X\to Y\) es continua, ¿es \(f(X)\) conexo por caminos?

Sí. Dados \(f(a)\) y \(f(b)\), si \(\gamma\) une \(a\) con \(b\) en \(X\), entonces \(f\circ\gamma\) los une en \(f(X)\).

¿Por qué \(\mathbb R\) no es homeomorfo a \(\mathbb R^2\) por argumentos de conexidad por caminos?

Quitando un punto, \(\mathbb R\) deja de ser conexo, pero \(\mathbb R^2\) sigue siendo conexo por caminos. Un homeomorfismo preservaría esa propiedad.

Ejercicios 10

  1. ¿Cuál de estos subconjuntos de \(\mathbb R\) es conexo por caminos?
  2. ¿Cuál es un camino en \(\mathbb R\) de \(2\) a \(5\)?
  3. El espacio \(X=\{1,2,3\}\) con la topología indiscreta, ¿es conexo por caminos?
  4. ¿Por qué \(\{1,2\}\) con la topología discreta no es conexo por caminos?
  5. Una de estas topologías sobre \(X=\{1,2,3\}\) no hace a \(X\) conexo por caminos. ¿Cuál?
  6. ¿Cuál afirmación es verdadera?
  7. ¿Cuál de estos subconjuntos de \(\mathbb R^2\) es conexo por caminos?
  8. Si \(\alpha\) une \(a\) con \(b\) y \(\beta\) une \(b\) con \(c\), ¿cuál camino une \(a\) con \(c\)?
  9. ¿Cuántas de las 29 topologías sobre un conjunto de 3 puntos lo hacen conexo por caminos?
  10. Sea \(X=\{1,2,3\}\) con abiertos \(\varnothing,\{1\},\{3\},\{1,3\},X\). ¿Es conexo por caminos?

Referencias

  • James R. Munkres, Topology, 2nd edition, Pearson, 2000. §24
  • Stephen Willard, General Topology, Dover reprint, Dover Publications, 2004. cap. 6, 27