Punto de acumulación

La condición exige que \(x\) pueda ser aproximado por puntos de \(A\) distintos de él. Por eso un punto de \(A\) puede no ser de acumulación (si está aislado: alguna vecindad suya no corta a \(A\) más que en \(x\)) y un punto fuera de \(A\) sí puede serlo. En \(\mathbb{R}\) usual, \((0,1)'=[0,1]\), \(\{1/n\}'=\{0\}\) y \(\mathbb{Z}'=\varnothing\).

Con el derivado la cerradura se describe sin más: \(\overline{A}=A\cup A'\). En consecuencia, \(A\) es cerrado si y solo si \(A'\subseteq A\), es decir, si contiene a todos sus puntos de acumulación. Los puntos de \(A\setminus A'\) son los puntos aislados de \(A\).

El comportamiento depende de la topología. En la discreta todo derivado es vacío, porque \(\{x\}\) es vecindad de \(x\). En la trivial, si \(A=\{a\}\), entonces \(A'=X\setminus\{a\}\), y si \(A\) tiene al menos dos puntos, \(A'=X\). Cuidado: la definición con vecindades no equivale a «hay una sucesión en \(A\) que converge a \(x\)» salvo en espacios con buena base local, como los métricos.

En espacios métricos, \(x\in A'\) exactamente cuando toda bola abierta alrededor de \(x\) contiene infinitos puntos de \(A\); en espacios generales esa propiedad de «infinitos» puede fallar (en la trivial una sola vecindad ya es todo \(X\)).