Separación y conexidad · Definición
Imagen continua de un conexo
Antes de empezar necesitas conocer
La conexidad sobrevive a la continuidad: es la razón por la que una función continua no puede «romper» un espacio de una sola pieza.
Definición
Si \(f:X\to Y\) es una función continua entre espacios topológicos y \(X\) es conexo, entonces la imagen \(f(X)\) es un subespacio conexo de \(Y\).
La demostración es corta. Si \(f(X)\) se pudiera escribir como unión de dos abiertos disjuntos no vacíos \(U\) y \(V\) del subespacio, entonces \(f^{-1}(U)\) y \(f^{-1}(V)\) serían abiertos de \(X\), disjuntos, no vacíos y con unión \(X\), lo que contradice que \(X\) sea conexo.
En la recta real el teorema se traduce en el teorema del valor intermedio. Los conexos de \(\mathbb R\) son los intervalos, así que la imagen de un intervalo bajo una función continua es otro intervalo: si \(f(a)=-2\) y \(f(b)=3\), la imagen contiene todo \([-2,3]\), y en particular el \(0\). Por la misma razón, \(x\mapsto 1/(1+x^2)\) manda \(\mathbb R\) sobre \((0,1]\).
El teorema también funciona como criterio negativo: si existe una función continua y sobreyectiva de un conexo sobre \(Y\), entonces \(Y\) es conexo. Así, \(\mathbb R\setminus\{0\}\) no es imagen continua de \(\mathbb R\), y una función continua de un conexo a un espacio discreto es constante.
No se asegura nada más sobre la imagen: puede no ser abierta, ni cerrada, ni compacta. Tampoco vale el recíproco: una constante tiene imagen conexa aunque su dominio no lo sea. Como consecuencia, la conexidad es invariante bajo homeomorfismos, lo que la hace útil para distinguir espacios, y la idea de unir puntos con curvas continuas lleva a la conexidad por caminos.
Para pensar
Si \(f:X\to Y\) es continua y sobreyectiva, y \(Y\) no es conexo, ¿puede \(X\) ser conexo?
No. Si lo fuera, \(Y=f(X)\) sería conexo por el teorema, lo cual contradice la hipótesis.
¿Por qué \(\mathbb R\) y \(\mathbb R\setminus\{0\}\) no son homeomorfos?
Un homeomorfismo sería continuo y sobreyectivo de \(\mathbb R\), que es conexo, sobre \(\mathbb R\setminus\{0\}\), que no lo es. Es imposible.
Ejercicios 10
- Sea \(f:[-1,2]\to\mathbb R\), \(f(x)=x^2\). La imagen \(f([-1,2])\) es:
- ¿Cuál función \(f:[-1,1]\to\mathbb R\) no puede ser continua, porque su imagen no es conexa?
- Si \(X\) es conexo y \(f:X\to Y\) es continua, ¿qué se puede asegurar de \(f(X)\)?
- Sea \(X=\{1,2,3\}\) con abiertos \(\varnothing,\{1\},\{1,2\},X\) y \(Y=\{a,b\}\) con abiertos \(\varnothing,\{a\},Y\). ¿Cuántas funciones continuas \(f:X\to Y\) son sobreyectivas?
- Para todas estas topologías de \(Y=\{a,b,c\}\), salvo una, hay una función continua sobreyectiva desde algún espacio conexo. ¿Cuál es la excepción?
- ¿Cuál es un contraejemplo de «si \(f\) es continua y \(f(X)\) es conexo, entonces \(X\) es conexo»?
- Sea \(f:[a,b]\to\mathbb R\) continua con \(f(a)=-2\) y \(f(b)=3\). ¿Qué valor debe alcanzar \(f\) con seguridad?
- La imagen de \(f:\mathbb R\to\mathbb R\), \(f(x)=\dfrac{1}{1+x^2}\), es:
- ¿Sobre cuál de estos subespacios de \(\mathbb R\) no existe una función continua sobreyectiva desde \(\mathbb R\)?
- Sea \(X=\{1,2,3\}\) con abiertos \(\varnothing,\{1\},\{1,2\},X\). ¿Cuántas funciones continuas hay de \(X\) a \(\{a,b,c\}\) discreto?
Referencias
- James R. Munkres, Topology, 2nd edition, Pearson, 2000. §23, Teorema 23.5
- Stephen Willard, General Topology, Dover reprint, Dover Publications, 2004. cap. 6, 26.2