Interior de un conjunto

Un punto \(x\) está en \(\operatorname{int}A\) exactamente cuando \(A\) es vecindad de \(x\). Así, en \(\mathbb{R}\) con la topología usual, \(\operatorname{int}[0,1]=(0,1)\): los extremos se pierden porque ningún intervalo abierto alrededor de ellos cabe en \([0,1]\). En cambio \(\operatorname{int}\mathbb{Q}=\varnothing\), pues todo intervalo contiene irracionales.

Siempre se cumple \(\operatorname{int}A\subseteq A\), y \(\operatorname{int}A=A\) si y solo si \(A\) es abierto. Además \(\operatorname{int}(\operatorname{int}A)=\operatorname{int}A\), \(\operatorname{int}(A\cap B)=\operatorname{int}A\cap\operatorname{int}B\) y \(A\subseteq B\) implica \(\operatorname{int}A\subseteq\operatorname{int}B\). Con la unión solo vale la inclusión \(\operatorname{int}A\cup\operatorname{int}B\subseteq\operatorname{int}(A\cup B)\), y puede ser estricta.

El interior depende de la topología: el mismo \(A\) puede tener interior grande en una topología y vacío en otra. En la topología trivial todo subconjunto propio tiene interior vacío; en la discreta, \(\operatorname{int}A=A\) para todo \(A\). Es el concepto dual de la cerradura, y juntos describen la frontera de un conjunto.