Topología de subespacio

Los abiertos de \(A\) se obtienen recortando los de \(X\): cada abierto \(U\) de \(X\) aporta el conjunto \(A\cap U\). Con esta familia se cumplen los axiomas de topología, porque \(A\cap\bigcup U_i=\bigcup(A\cap U_i)\) y \(A\cap(U\cap W)=(A\cap U)\cap(A\cap W)\). Distintos abiertos de \(X\) pueden dar el mismo abierto de \(A\), de modo que a menudo hay menos abiertos en \(A\) que en \(X\).

Los cerrados de \(A\) son las intersecciones \(A\cap F\) con \(F\) cerrado en \(X\), y la inclusión \(i:A\to X\) es continua, pues \(i^{-1}(U)=A\cap U\). De hecho es la topología más pequeña sobre \(A\) que hace continua a la inclusión. También es transitiva: si \(A\subseteq B\subseteq X\), la topología que \(A\) hereda de \(B\) es la que hereda de \(X\).

Que un conjunto sea abierto en el subespacio no significa que lo sea en el espacio grande. En \(A=[0,1]\subseteq\mathbb{R}\), el conjunto \([0,\tfrac12)=(-1,\tfrac12)\cap A\) es abierto en \(A\) pero no en \(\mathbb{R}\). Solo si \(A\) mismo es abierto en \(X\) los abiertos de \(A\) son abiertos de \(X\). Análogamente, \(\mathbb{Z}\subseteq\mathbb{R}\) hereda la topología discreta, pues \(\{n\}=(n-\tfrac12,n+\tfrac12)\cap\mathbb{Z}\).

Esta construcción permite hablar de la continuidad de funciones definidas en partes de un espacio, como una curva sobre un intervalo, y es la base de la topología producto y de las propiedades hereditarias. Es el paso previo a estudiar subespacios compactos y conexos.