Componente conexa

La unión de conexos que comparten un punto es conexa; por eso la unión de todos los conexos que contienen a \(x\) es conexa, y es la mayor posible. Eso garantiza que \(C(x)\) existe y es única. Además \(C(x)\) es siempre cerrado, porque la clausura de un conexo es conexa.

Dos componentes son iguales o disjuntas, de modo que las componentes forman una partición de \(X\): \(x\) y \(y\) están en la misma componente exactamente cuando algún conexo los contiene a ambos. Un espacio es conexo cuando tiene una sola componente, y es discreto cuando las componentes son puntos y además cada punto es abierto.

Las componentes no tienen por qué ser abiertas. En \(\mathbb{Q}\) las componentes son los puntos, pero ningún punto es abierto; se dice que \(\mathbb{Q}\) es totalmente disconexo sin ser discreto. En cambio, si hay un número finito de componentes, cada una es abierta y cerrada. En \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\) hay dos componentes, \((-\infty,0)\) y \((0,\infty)\).

Una función continua lleva cada componente dentro de una componente del espacio de llegada. Por eso un homeomorfismo lleva componentes en componentes y el número de componentes sirve para distinguir espacios: \([0,1]\) y \([0,1]\cup[2,3]\) no son homeomorfos.