Ejercicio · ZW-TEOREMA-DE-LOS-RESIDUOS-008 · ★★☆ Intermedio
Calcula \(\oint_{|z-i|=1}\frac{dz}{z^{2}+1}\) en sentido positivo.
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- B. \(\pi\)
Explicación
Dentro de \(|z-i|=1\) solo está el polo \(i\) (el polo \(-i\) queda a distancia \(2\)). Su residuo es \(1/(2i)\), y \(2\pi i\cdot\frac{1}{2i}=\pi\).
Repasa el concepto: Teorema de los residuos
Si \(f\) es holomorfa sobre un contorno cerrado simple \(\gamma\) y dentro de él salvo en singularidades aisladas \(z_k\), su integral sobre \(\gamma\) es \(2\pi i\) por la suma de sus residuos en ellas.
\[\oint_{\gamma} f(z)\,dz=2\pi i\sum_{k}\operatorname{Res}(f,z_k)\]
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