Ejercicio · ZW-TEOREMA-DE-LOS-RESIDUOS-007 · ★★☆ Intermedio
Calcula \(\oint_{|z|=1}\frac{\cos z}{z^{3}}\,dz\) en sentido positivo.
Elige una opción.
Ver respuesta
- D. \(-\pi i\)
Explicación
\(\cos z=1-z^2/2+\dots\), así que \(\cos z/z^3=z^{-3}-\tfrac12 z^{-1}+\dots\). El residuo es \(-1/2\) y la integral vale \(2\pi i\cdot(-1/2)=-\pi i\).
Repasa el concepto: Teorema de los residuos
Si \(f\) es holomorfa sobre un contorno cerrado simple \(\gamma\) y dentro de él salvo en singularidades aisladas \(z_k\), su integral sobre \(\gamma\) es \(2\pi i\) por la suma de sus residuos en ellas.
\[\oint_{\gamma} f(z)\,dz=2\pi i\sum_{k}\operatorname{Res}(f,z_k)\]
Más ejercicios de teorema de los residuos
- ZW-TEOREMA-DE-LOS-RESIDUOS-001 Calcula oint_|z|=2(dz)/(z-1), con la circunferencia recorrida en sentido positivo.
- ZW-TEOREMA-DE-LOS-RESIDUOS-002 Calcula oint_|z|=1(e^z)/(z^2) dz en sentido positivo.
- ZW-TEOREMA-DE-LOS-RESIDUOS-003 Calcula oint_|z|=1(dz)/(z^2+4) en sentido positivo.
- ZW-TEOREMA-DE-LOS-RESIDUOS-004 Calcula oint_|z|=2(z)/(z^2+1) dz en sentido positivo.
- ZW-TEOREMA-DE-LOS-RESIDUOS-005 Calcula oint_|z|=2(dz)/(z-1) recorrida en sentido horario (negativo).
- ZW-TEOREMA-DE-LOS-RESIDUOS-006 Calcula oint_|z|=3(dz)/(z^2-1) en sentido positivo.
- ZW-TEOREMA-DE-LOS-RESIDUOS-008 Calcula oint_|z-i|=1(dz)/(z^2+1) en sentido positivo.
- ZW-TEOREMA-DE-LOS-RESIDUOS-009 Calcula oint_|z|=2(e^z)/(z(z-1)) dz en sentido positivo.
← ZW-TEOREMA-DE-LOS-RESIDUOS-006 ZW-TEOREMA-DE-LOS-RESIDUOS-008 →