Integrales · Definición

Antiderivada

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Antes de empezar necesitas conocer

La antiderivada invierte la derivación: dada \(f\), buscamos \(F\) con \(F'=f\). Aquí aprenderás a comprobarla derivando y por qué siempre aparece una constante \(+C\).

Definición

Una antiderivada de \(f\) es una función \(F\) tal que \(F^{\prime}=f\). Si \(F\) es una antiderivada de \(f\), todas las demás en un intervalo difieren de \(F\) en una constante.

\[F'(x)=f(x)\]

Una antiderivada de \(f\) es una función \(F\) cuya derivada es \(f\). Es «derivar al revés»: dada la velocidad, recuperar la posición.

No es única: si \(F\) lo es, también \(F+C\) para cualquier constante \(C\), porque la derivada de una constante es 0. Por eso al integrar siempre aparece «+C».

Cada fórmula de derivación se lee al revés como fórmula de antiderivación, aunque no toda antiderivada se puede escribir con funciones elementales.

A una antiderivada también se le llama primitiva.

Para pensar

¿Por qué las antiderivadas incluyen una constante C?

Porque funciones que difieren en una constante tienen la misma derivada.

Ejercicios 10

  1. Si \(F\) y \(G\) son antiderivadas de la misma función en un intervalo, entonces...
  2. ¿Cuál es una antiderivada de \(f(x)=\cos {x}\)?
  3. ¿Cuál es una antiderivada de \(f(x)=\frac{1}{x}\)?
  4. ¿Cuál es una antiderivada de \(f(x)=\sec^{2} {x}\)?
  5. ¿Cuál es una antiderivada de \(f(x)=x^{2}\)?
  6. ¿Cuál es una antiderivada de \(f(x)=e^{x}\)?
  7. ¿Cuál es una antiderivada de \(f(x)=\sin {\left(2x \right)}\)?
  8. Sea \(f(x)=0\) en \(D=(-1,0)\cup(0,1)\). ¿Cuál afirmación es cierta?
  9. ¿Cuál es una antiderivada de \(f(x)=\frac{1}{x^{2}}\)?
  10. ¿Cuál es una antiderivada de \(f(x)=x e^{x^{2}}\)?

Referencias

  • James Stewart, Calculus: Early Transcendentals, 8.ª edición, Cengage Learning, 2015.
  • Tom M. Apostol, Calculus, Vol. 1, 2.ª edición, John Wiley & Sons, 1967.