Derivadas · Definición

Reglas básicas de derivación

cálculoderivadas

Antes de empezar necesitas conocer

Estas reglas te permiten derivar polinomios y potencias sin usar límites. Son la base para el resto del cálculo diferencial.

Definición

La derivada de una constante es \(0\) y la de \(x^n\) es \(n\,x^{n-1}\). Además la derivada es lineal: la derivada de una suma es la suma de las derivadas y las constantes salen multiplicando.

\[\begin{gathered}\frac{d}{dx}x^{n}=nx^{n-1}\\ (cf+g)'=cf'+g'\end{gathered}\]

La regla de la potencia dice que \((x^{n})'=n\,x^{n-1}\) para cualquier exponente real \(n\). Una constante tiene derivada \(0\), y un múltiplo constante sale fuera: \((c\,f)'=c\,f'\).

Ejemplo: para \(f(x)=3x^{4}-x^{2}+5\), se obtiene \(f'(x)=12x^{3}-2x\). El \(3\) queda como factor, \(x^{4}\) baja a \(x^{3}\) con un \(4\) y el \(5\) desaparece.

Error típico: olvidar restar 1 al exponente, escribir \(x^{n}\) en lugar de \(x^{n-1}\), o tratar la constante \(5\) como si fuera \(5x\). Deriva cada término por separado antes de sumar.

Para pensar

Deriva \(3x^4-2x+7\).

\(12x^3-2\): derivada de cada término; la constante 7 se anula.

Ejercicios 10

Deriva las siguientes funciones

  1. \(\displaystyle f(x)=5 x^{4} - 3 x^{2} + 7 x - 2\)
  2. \(\displaystyle f(x)=4 x^{3} + 2 x - 9\)
  3. \(\displaystyle f(x)=x^{5} - 3 x^{2} + 7\)
  4. \(\displaystyle f(x)=3 \sqrt{x} + \frac{1}{x^{2}}\)
  5. \(\displaystyle f(x)=x^{6}\)
  6. \(\displaystyle f(x)=\frac{7}{x^{3}}\)
  7. \(\displaystyle f(x)=-8\)
  8. \(\displaystyle f(x)=\frac{x^{3}}{2}+4 x\)

Problemas

  1. Deriva \(g(t)=\pi^{2}+6 t^{2}\).
  2. Deriva \(h(x)=\sqrt[3]{x^{2}}+\frac{4}{x}\).

Referencias

  • James Stewart, Calculus: Early Transcendentals, 8.ª edición, Cengage Learning, 2015.