Ejercicio · ZW-BOLZANO-WEIERSTRASS-009 · ★★★ Avanzado
¿Por qué el teorema de Bolzano-Weierstrass falla si solo se admiten números racionales?
Elige una opción.
A Porque \(\mathbb Q\) no está acotado B Porque \(\mathbb Q\) no tiene orden C Porque \(\mathbb Q\) no es numerable D Las truncaciones decimales de \(\sqrt2\) están acotadas y ninguna subsucesión converge en \(\mathbb Q\) Ver respuesta D. Las truncaciones decimales de \(\sqrt2\) están acotadas y ninguna subsucesión converge en \(\mathbb Q\)← Volver a la pregunta
Explicación La prueba usa la completitud de \(\mathbb R\). En \(\mathbb Q\) esos truncamientos son una sucesión acotada cuyas subsucesiones convergen todas a \(\sqrt2\), que no es racional. Las otras razones son falsas: \(\mathbb Q\) sí está ordenado y sí es numerable.
Toda sucesión real acotada \((a_n)\) tiene al menos una subsucesión \((a_{n_k})\) que converge a un número del conjunto \(\mathbb R\) de los reales.
\[\exists\,(n_k):\ \lim_{k\to\infty}a_{n_k}\in\mathbb R\]
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