Usando n!≥2^n-1 para n≥1, ¿qué cota superior para ∑_n=1^∞1n! resulta de sumar la geométrica ∑_n=1^∞12^n-1?

Ejercicio · ZW-CRITERIO-DE-COMPARACION-010 · ★★★ Avanzado

Usando \(n!\ge2^{n-1}\) para \(n\ge1\), ¿qué cota superior para \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n!}\) resulta de sumar la geométrica \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{2^{n-1}}\)?

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Entonces \(\frac1{n!}\le\frac1{2^{n-1}}\) y \(\sum_{n=1}^{\infty}2^{-(n-1)}=\frac{1}{1-1/2}=2\). La serie converge y su suma es \(\le2\).

Criterio que decide si una serie \(\sum a_n\) de términos no negativos converge comparándola con otra serie \(\sum b_n\) tal que \(a_n\le b_n\).

\[0\le a_n\le b_n\ \Longrightarrow\ \Big(\sum b_n\text{ converge}\Rightarrow\sum a_n\text{ converge}\Big)\]