Sea f(x)=x^2 si x≤1 y f(x)=ax+b si x>1. Si f es derivable en 1, ¿cuánto vale a+b?

Ejercicio · ZW-DERIVABLE-IMPLICA-CONTINUA-004 · ★★☆ Intermedio

Sea \(f(x)=x^2\) si \(x\le1\) y \(f(x)=ax+b\) si \(x>1\). Si \(f\) es derivable en \(1\), ¿cuánto vale \(a+b\)?

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Ser derivable obliga a ser continua: \(a+b=f(1)=1\). Además \(a=f'(1)=2\), de modo que \(b=-1\) y \(a+b=1\).

Si una función \(f\) es derivable en un punto \(c\), entonces \(f\) es continua en \(c\). El recíproco es falso.

\[f'(c)\text{ existe}\ \Longrightarrow\ \lim_{x\to c}f(x)=f(c)\]