Ejercicio · ZW-ESPACIO-HAUSDORFF-TOPOLOGICO-008 · ★★☆ Intermedio
Sea \(f:X\to Y\) continua e inyectiva, con \(Y\) de Hausdorff. ¿Qué se concluye sobre \(X\)?
Elige una opción.
Ver respuesta
- C. Es de Hausdorff
Explicación
Si \(x\neq y\), entonces \(f(x)\neq f(y)\) y hay abiertos disjuntos \(U\ni f(x)\), \(V\ni f(y)\). Sus preimágenes \(f^{-1}(U)\) y \(f^{-1}(V)\) son abiertos disjuntos que separan a \(x\) y \(y\).
Repasa el concepto: Espacio de Hausdorff
Un espacio topológico \(X\) es de Hausdorff si para cada par de puntos distintos \(x\) y \(y\) existen abiertos disjuntos \(U\ni x\) y \(V\ni y\).
\[x\neq y\ \Rightarrow\ \exists\,U,V\ \text{abiertos}:\ x\in U,\ y\in V,\ U\cap V=\varnothing\]
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