Ejercicio · ZW-ESPACIO-HAUSDORFF-TOPOLOGICO-009 · ★★★ Avanzado
Sea \(X=\{a,b\}\) con la topología trivial y \(Y\) cualquier espacio de Hausdorff con dos o más puntos. ¿Es \(Y\times X\) con la topología producto de Hausdorff?
Elige una opción.
A No: \((y,a)\) y \((y,b)\) no se separan B Sí, porque \(Y\) lo es C Sí, porque el producto de Hausdorff siempre lo es D Solo si \(Y\) es finito Ver respuesta A. No: \((y,a)\) y \((y,b)\) no se separan← Volver a la pregunta
Explicación Todo abierto de \(Y\times X\) que contiene a \((y,a)\) contiene también a \((y,b)\), porque los abiertos de \(X\) son \(\varnothing\) y \(X\). El producto de Hausdorff es de Hausdorff solo si ambos factores lo son.
Un espacio topológico \(X\) es de Hausdorff si para cada par de puntos distintos \(x\) y \(y\) existen abiertos disjuntos \(U\ni x\) y \(V\ni y\).
\[x\neq y\ \Rightarrow\ \exists\,U,V\ \text{abiertos}:\ x\in U,\ y\in V,\ U\cap V=\varnothing\]
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