Sean \(X=\{1,2,3\}\) con \(\mathcal{T}=\{\varnothing,\{1\},\{1,2\},\{1,2,3\}\}\) y \(Y=\{a,b\}\) con \(\mathcal{T}=\{\varnothing,\{a\},\{a,b\}\}\). ¿Cuál de las funciones \(f:X\to Y\) es continua?
Basta que la preimagen de cada abierto propio de \(Y\) sea abierta en \(X\). Para la correcta: \(f^{-1}(\{a\})=\{1,2\}\), todas abiertas. En cambio, con \(f(1)=a,\ f(2)=b,\ f(3)=a\) se tiene \(f^{-1}(\{a\})=\{1,3\}\), que no es abierto.
Una función \(f:X\to Y\) entre espacios topológicos \((X,\mathcal{T}_X)\) y \((Y,\mathcal{T}_Y)\) es continua si la preimagen de todo abierto \(V\) de \(Y\) es un abierto de \(X\).