Ejercicio · ZW-FUNCION-CONTINUA-TOPOLOGICA-005 · ★★☆ Intermedio
En \(\mathbb{R}\) usual, ¿cuál de estas funciones \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) es continua?
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- A. \(f(x)=x^2+1\)
Explicación
Las otras tres tienen saltos. Por ejemplo, para \(\lfloor x\rfloor\) se tiene \(f^{-1}\big((\tfrac12,\tfrac32)\big)=[1,2)\), que no es abierto; para la indicadora de \([0,\infty)\), \(f^{-1}\big((\tfrac12,\tfrac32)\big)=[0,\infty)\), tampoco abierto.
Repasa el concepto: Función continua entre espacios topológicos
Una función \(f:X\to Y\) entre espacios topológicos \((X,\mathcal{T}_X)\) y \((Y,\mathcal{T}_Y)\) es continua si la preimagen de todo abierto \(V\) de \(Y\) es un abierto de \(X\).
\[V\in\mathcal{T}_Y\ \Longrightarrow\ f^{-1}(V)\in\mathcal{T}_X\]
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