Ejercicio · ZW-FUNCION-CONTINUA-TOPOLOGICA-008 · ★★★ Avanzado
Sea \(X=\{1,2,3\}\) con la topología trivial y \(Y=\{a,b\}\) con \(\mathcal{T}=\{\varnothing,\{a\},Y\}\). ¿Cuántas funciones continuas \(X\to Y\) hay?
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Explicación Debe ocurrir que \(f^{-1}(\{a\})\) sea abierto en la trivial, es decir \(\varnothing\) o \(X\): \(f\) es constante. Hay exactamente dos constantes (todo \(a\) o todo \(b\)), de un total de \(2^3=8\) funciones .
Una función \(f:X\to Y\) entre espacios topológicos \((X,\mathcal{T}_X)\) y \((Y,\mathcal{T}_Y)\) es continua si la preimagen de todo abierto \(V\) de \(Y\) es un abierto de \(X\).
\[V\in\mathcal{T}_Y\ \Longrightarrow\ f^{-1}(V)\in\mathcal{T}_X\]
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