Ejercicio · ZW-FUNCION-CONTINUA-TOPOLOGICA-004 · ★☆☆ Básico
Sea \(X\) un conjunto con al menos dos puntos. ¿Cuál afirmación es verdadera?
Elige una opción.
A La identidad de \(X\) con la trivial a \(X\) con la discreta es continua B La identidad de \(X\) con la topología discreta a \(X\) con la trivial es continua C Ninguna función constante entre espacios topológicos es continua D La identidad de \(\mathbb{R}\) usual a \(\mathbb{R}\) discreta es continua Ver respuesta B. La identidad de \(X\) con la topología discreta a \(X\) con la trivial es continua← Volver a la pregunta
Explicación Los abiertos de la trivial son \(\varnothing\) y \(X\), cuyas preimágenes son \(\varnothing\) y \(X\), abiertas en la discreta. En la dirección contraria, \(\{x\}\) es abierto en el destino pero no en el origen. Las constantes sí son continuas, pues toda preimagen es \(\varnothing\) o el dominio.
Una función \(f:X\to Y\) entre espacios topológicos \((X,\mathcal{T}_X)\) y \((Y,\mathcal{T}_Y)\) es continua si la preimagen de todo abierto \(V\) de \(Y\) es un abierto de \(X\).
\[V\in\mathcal{T}_Y\ \Longrightarrow\ f^{-1}(V)\in\mathcal{T}_X\]
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